Madhyamik Class 10 Mathematics Model Question Paper Solution page no 385 (নমুনা প্রশ্নপত্র সমাধান)

পশ্চিমবঙ্গ দশম শ্রেণি গণিত নমুনা প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ নির্ভুল উত্তর।

সময়: ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট | পূর্ণমান: ৪০

১. সঠিক উত্তর নির্বাচন করো (MCQ):

(i) 5x² - 2x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান: ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -b/a
এখানে a = 5, b = -2
∴ সমষ্টি = -(-2)/5 = 2/5

সঠিক উত্তর: (d) 2/5

(ii) সমীর 4000 টাকা 3 মাসের জন্য এবং অমিতা 3000 টাকা 5 মাসের জন্য ব্যবসায় নিয়োজিত করলে লভ্যাংশ বণ্টনের অনুপাত কত?

সমাধান:
সমীরের সমতুল্য মূলধন = 4000 × 3 = 12000 টাকা
অমিতার সমতুল্য মূলধন = 3000 × 5 = 15000 টাকা
অনুপাত = 12000 : 15000 = 12 : 15 = 4 : 5

সঠিক উত্তর: (c) 4 : 5

(iii) x ∝ 1/y এবং y = 2/5 যখন x = 5; x = 1/6 হলে, y-এর মান কত?

সমাধান:
x = k/y ⇒ xy = k (যেখানে k ভেদ ধ্রুবক)
k = 5 × (2/5) = 2
এখন, (1/6) × y = 2 ⇒ y = 2 × 6 = 12

সঠিক উত্তর: (c) 12

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। ∠ADC = 140° এবং ∠CAB = x° হলে, x-এর মান কত?

সমাধান:
ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 140° = 40°
আবার, AB ব্যাস হওয়ায় অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ACB = 90°
সমকোণী ΔABC-এ, x° = 180° - (90° + 40°) = 50°

সঠিক উত্তর: (c) 50

(v) একটি স্তম্ভ ও একটি 20 মিটার লম্বা উল্লম্ব লাঠির ছায়ার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 50 মিটার ও 10 মিটার হলে স্তম্ভের উচ্চতা কত?

সমাধান:
(স্তম্ভের উচ্চতা / ছায়ার দৈর্ঘ্য) = (লাঠির উচ্চতা / লাঠির ছায়ার দৈর্ঘ্য)
⇒ H / 50 = 20 / 10
⇒ H = 2 × 50 = 100 মিটার

সঠিক উত্তর: (d) 100 মি.

(vi) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. এবং ব্যাস 16 সেমি. হলে, শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
উচ্চতা (h) = 15 সেমি., ব্যাসার্ধ (r) = 16/2 = 8 সেমি.
তির্যক উচ্চতা (l) = √(r² + h²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 সেমি.
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl = π × 8 × 17 = 136π বর্গ সেমি.

সঠিক উত্তর: (c) 136π বর্গ সেমি.

(vii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 147π বর্গ সেমি. হলে ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr²
3πr² = 147π ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7 সেমি.

সঠিক উত্তর: (b) 7 সেমি.

২. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও:

(i) A ∝ 1/C এবং C ∝ 1/B হলে, A এবং B-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক নির্ণয় করো।

উত্তর:
A = k₁/C এবং C = k₂/B (যেখানে k₁, k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
⇒ A = k₁ / (k₂/B) = (k₁/k₂) × B
যেহেতু (k₁/k₂) একটি ধ্রুবক, সুতরাং A ∝ B অর্থাৎ A এবং B পরস্পরের সাথে সরল ভেদে আছে।

(ii) শূন্যস্থান পূরণ করো:

(a) একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের ছেদক (Secant) বলে।

(b) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সেমি. ও 5 সেমি. এবং তারা পরস্পর বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = (4 + 5) = 9 সেমি.।

(iii) একটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল S এবং আয়তন V হলে, S³/V²-এর মান π-এর সাপেক্ষে কত তা লেখো।

উত্তর:
ধরি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, S = 4πr² ⇒ S³ = 64π³r⁶
আয়তন, V = (4/3)πr³ ⇒ V² = (16/9)π²r⁶

∴ S³/V² = (64π³r⁶) / [(16/9)π²r⁶]
= 64π × (9/16) = 36π